原標(biāo)題：韋伯望遠(yuǎn)鏡為什么要放置那么遠(yuǎn)？《張朝陽的物理課》介紹日地系統(tǒng)的拉格朗日點(diǎn)

近期，韋伯望遠(yuǎn)鏡（JWST, James Webb Space Telascope）經(jīng)過調(diào)試，成功得到遙遠(yuǎn)星系的高清照片。韋伯望遠(yuǎn)鏡沒有采用之前哈勃望遠(yuǎn)鏡那樣的繞地軌道，而是選擇在了日地系統(tǒng)的L2拉格朗日點(diǎn)。拉格朗日點(diǎn)是什么點(diǎn)？相關(guān)位置該怎么求？為什么把空間望遠(yuǎn)鏡放在那里？7月22日、7月24日中午12時(shí)，《張朝陽的物理課》第七十三期、第七十四期開播，搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼CEO張朝陽坐鎮(zhèn)搜狐視頻直播間，介紹了拉格朗日點(diǎn)的概念以及這些點(diǎn)的穩(wěn)定性問題，并借助牛頓第二定律與牛頓萬有引力定律推導(dǎo)了L2拉格朗日點(diǎn)與L4拉格朗日點(diǎn)的位置。

拉格朗日點(diǎn) 宇宙停車場

張朝陽先簡單介紹了韋伯望遠(yuǎn)鏡，然后轉(zhuǎn)入正題，正式講解日地系統(tǒng)的拉格朗日點(diǎn)。

做橢圓軌道的行星系統(tǒng)拉格朗日點(diǎn)的定義比較微妙，為了簡單起見，這里假設(shè)地球公轉(zhuǎn)軌道為圓軌道。日地系統(tǒng)的拉格朗日點(diǎn)一共有五個(gè)，當(dāng)物體處于這五個(gè)點(diǎn)之一時(shí)，地球與太陽對物體的引力合力剛好可以讓這個(gè)物體繞著日地系統(tǒng)的質(zhì)心公轉(zhuǎn)，并且公轉(zhuǎn)周期與地球公轉(zhuǎn)周期一樣。

其中L1，L2，L3這三個(gè)拉格朗日點(diǎn)處在連接太陽與地球的直線上。詳細(xì)地說，L1處在日地之間，L2處在太陽到地球的延長線上，L3處在地球到太陽的延長線上。L4與L5不在日地直線上，但是近似處于地球的公轉(zhuǎn)軌道上，而且L4(以及L5)到太陽的連線正好與日地連線相夾60度。

張朝陽介紹拉格朗日點(diǎn)

詳細(xì)的分析表明，L1，L2，L3這三個(gè)點(diǎn)不是穩(wěn)定平衡點(diǎn)，即使物體精確地處在這三個(gè)點(diǎn)之一上，只要有一點(diǎn)點(diǎn)擾動，這個(gè)物體就會逐漸偏離平衡點(diǎn)，并且偏離會越來越大。張朝陽對L2的不穩(wěn)定性作了一些說明。當(dāng)物體處于L2位置時(shí)，太陽、地球?qū)ξ矬w的引力剛好等于物體(與地球同步的)繞日公轉(zhuǎn)時(shí)的向心力。如果物體稍微偏向太陽與地球，由于引力與距離平方成反比，物體所受引力會增大，而角速度固定的轉(zhuǎn)動所需向心力與距離成正比，于是所需向心力減少，因此，引力大于所需向心力，物體必然會越來越偏離L2點(diǎn)；對于反方向的偏離，也可以進(jìn)行類似的分析。

所以，可以知道L2點(diǎn)是一個(gè)不穩(wěn)定點(diǎn)。另一方面，在日地系統(tǒng)上，L4與L5是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，處在這兩處的物體即使受到了微擾，也不會過大地偏離平衡位置。

韋伯望遠(yuǎn)鏡被安置在了L2點(diǎn)，但是L2不是一個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)，這樣沒有問題嗎？實(shí)際上，韋伯望遠(yuǎn)鏡并沒有靜止在L2點(diǎn)上，而是近似地繞著L2點(diǎn)在作圓周運(yùn)動，軌道平面垂直于日地連線。這么做的原因主要有兩個(gè)，第一是這樣能大大降低軌道的不穩(wěn)定性，從而降低韋伯望遠(yuǎn)鏡的軌道調(diào)整頻次。第二個(gè)原因是，L2點(diǎn)處在地球背面，無法有效接收太陽能，而目前韋伯望遠(yuǎn)鏡繞L2點(diǎn)的軌道半徑足夠大，能夠逃脫地球的遮擋，從而保證太陽能的接收。

為什么不把韋伯望遠(yuǎn)鏡放在L4或者L5點(diǎn)呢？這里邊也涉及到兩方面原因，第一個(gè)原因是L4點(diǎn)距離地球太遠(yuǎn)，不便于發(fā)射與通訊；第二個(gè)原因是，L4與L5是穩(wěn)定平衡點(diǎn)，那么那里很可能存在一些小的隕石、星塵之類的東西，它們會對空間望遠(yuǎn)鏡造成危害。正因?yàn)長4與L5點(diǎn)的穩(wěn)定性，它們又被稱為“宇宙停車場”。張朝陽還介紹到，由于木星質(zhì)量很大，它的L4與L5點(diǎn)上確實(shí)匯聚了很多小的天體。

張朝陽介紹木星的L4與L5點(diǎn)上的小天體)

考慮公轉(zhuǎn)慣性力 運(yùn)用平衡條件求L2

接著，張朝陽開始介紹怎么計(jì)算L2點(diǎn)的位置。記太陽的位置矢量為r1，地球的位置矢量為r2，r為日地距離，ms與me分別是太陽與地球的質(zhì)量，根據(jù)萬有引力定律與牛頓第二定律，可以得到太陽與地球的運(yùn)動方程為：

其中e_{12}與e_{21}分別是太陽到地球以及地球到太陽的單位矢量。將這兩式相加可以得到：

日地系統(tǒng)的質(zhì)心為：

于是：

這個(gè)結(jié)果本質(zhì)上就是日地系統(tǒng)的質(zhì)心運(yùn)動定律。日地系統(tǒng)的質(zhì)心可以看成是不動的，地球與太陽都繞著日地質(zhì)心運(yùn)動。由于太陽質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于地球質(zhì)量，日地質(zhì)心非?？拷柕奈恢?，因此在很多計(jì)算上可以直接將日地質(zhì)心近似為太陽中心。不過，后面會介紹到，在計(jì)算L4位置時(shí)，日地質(zhì)心與太陽中心不完全重合是非常關(guān)鍵的。

地球到日地質(zhì)心的位矢為：

由于質(zhì)心位矢的加速度為0，所以：

定義約化質(zhì)量：

并且考慮到地球的運(yùn)動方程：

可以得到：

其中M是日地系統(tǒng)的總質(zhì)量。這個(gè)結(jié)果意味著地球繞著日地質(zhì)心的運(yùn)動可以看成是一個(gè)質(zhì)量為μ的物體在質(zhì)量為M的星球引力場下繞著這個(gè)星球的運(yùn)動，而這個(gè)質(zhì)量為M的等效星球的位置正好處在太陽位置上。根據(jù)這個(gè)結(jié)果，可以得到地球繞著日地質(zhì)心的公轉(zhuǎn)角頻率滿足：

其中已經(jīng)將日地距離記為r0。

當(dāng)物體處在L2點(diǎn)時(shí)，要求它與地球同步地繞著日地質(zhì)心公轉(zhuǎn)，因此它具有離心加速度：

其中r_e是地球到日地質(zhì)心的距離，r2是L2點(diǎn)到地球的距離。

張朝陽解釋說，根據(jù)離心加速度公式，角速度固定時(shí)，距離中心越遠(yuǎn)，離心加速度越大。萬有引力的趨勢與此相反，距離越遠(yuǎn)，引力越小。當(dāng)物體處在地球位置時(shí)，離心加速度剛好與太陽引力加速度平衡，但是當(dāng)距離增大的時(shí)候，這種平衡就打破了，這時(shí)候剛好可以把地球的引力考慮進(jìn)來，重新讓運(yùn)動達(dá)到平衡，這就是L2點(diǎn)的本質(zhì)。

由于r_e與r0非常接近，因此可以將r_e近似為r0。根據(jù)前面介紹的平衡條件，有：

其中已經(jīng)作了一次僅保留前兩階的泰勒展開。將ω0的式子代入：

化簡上式可得：

于是：

考慮到日地距離約為1.5億公里，立即可以知道r2約等于150萬公里。

張朝陽介紹L2點(diǎn)的計(jì)算

日地質(zhì)心不與太陽位置重合 適當(dāng)近似求出L4位置

計(jì)算完L2點(diǎn)到地球的距離，張朝陽開始計(jì)算L4點(diǎn)的位置。他強(qiáng)調(diào)，計(jì)算L4點(diǎn)時(shí)不能簡單地認(rèn)為日地質(zhì)心與太陽中心重合，必須考慮到這兩點(diǎn)之間的偏離。計(jì)算L4點(diǎn)的示意圖與相關(guān)量的定義可見于下圖，其中L4點(diǎn)位于幾何圖最上邊的那個(gè)頂點(diǎn)上，r1為太陽到日地質(zhì)心的距離，L4點(diǎn)到太陽的方向和它到日地質(zhì)心的方向的夾角記為δ。

張朝陽介紹說，這次計(jì)算的目的是在地球軌道上尋找一點(diǎn)，在這一點(diǎn)上太陽的引力與地球的引力正好可以讓物體繞日地質(zhì)心作圓周運(yùn)動，周期與地球公轉(zhuǎn)周期一致。因此，L4點(diǎn)距離太陽的距離取為日地距離r_s。

計(jì)算L4點(diǎn)的示意圖與過程

首先，太陽到日地質(zhì)心的距離r1約等于：

把L4點(diǎn)的受力分解為軌道切向部分與徑向部分。由于離心加速度只沿徑向部分，所以切向部分的平衡條件為：

其中a_s與a_e分別表示太陽與地球在L4點(diǎn)的引力加速度大小。根據(jù)正弦定理，有：

將其代入切向平衡條件可以得到：

再將前面關(guān)于r1的式子代入，有：

化簡上式，并注意到在δ很小的情況下有r_s約等于r_c，可以得到：

什么情況下這個(gè)平衡方程才滿足呢？張朝陽提示說，當(dāng)θ1為60度的時(shí)候這個(gè)平衡方程會成立。事實(shí)上，由于r_s約等于r_c，r_c又約等于地球到日地質(zhì)心的距離，因此當(dāng)θ1等于60度時(shí)，L4點(diǎn)、日地質(zhì)心、地球中心三點(diǎn)將大約構(gòu)成等邊三角形，此時(shí)θ1=θ2，rc=r_e，因此切向的平衡條件得以滿足。

解決了切向的平衡，接下來需要驗(yàn)證在正三角形的條件下徑向的平衡是否滿足。設(shè)L4點(diǎn)與地球同步公轉(zhuǎn)時(shí)的加速度為a_c，那么徑向的平衡方程為：

根據(jù)前面推導(dǎo)的地球公轉(zhuǎn)角頻率公式：

有：

注意到r_s*cos(δ)為L4-太陽連線在L4-日地質(zhì)心連線上的投影，這段投影比r_c要大，長出來的部分正好等于太陽-日地質(zhì)心連線在L4-日地質(zhì)心連線上的投影，于是：

將此式代入前一個(gè)結(jié)果可以得到：

再將r1的式子代入，有：

另一方面，地球在L4點(diǎn)的引力加速度在徑向的投影為：

注意到θ1與θ2都等于60度，所以：

綜合這些結(jié)果立即得到：

所以，徑向的平衡條件也是滿足的，地球軌道上的確存在滿足要求的拉格朗日點(diǎn)，而且這個(gè)點(diǎn)與日地質(zhì)心、地球三者近似組成一個(gè)正三角形。

據(jù)了解，《張朝陽的物理課》于每周周五、周日中午12時(shí)在搜狐視頻直播，網(wǎng)友可以在搜狐視頻“關(guān)注流”中搜索“張朝陽”，觀看直播及往期完整視頻回放；關(guān)注“張朝陽的物理課”賬號，查看課程中的“知識點(diǎn)”短視頻。此外，還可以在搜狐新聞APP的“搜狐科技”賬號上，閱覽每期物理課程的詳細(xì)文章。

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